SymPy - 简化 - 菜鸟教程

简述

Sympy 具有强大的简化数学表达式的能力。SymPy 中有许多函数可以执行各种简化。那里有一个称为 simple() 的通用函数，它试图得出最简单的表达式形式。

简化

该函数在 sympy.simplify 模块中定义。simple() 尝试应用智能启发式来使输入表达式“更简单”。以下代码显示了简化表达式

s i n^{2} (x) + c o s^{2} (x)

。



>>> from sympy import * 

>>> x=Symbol('x')

>>> expr=sin(x)**2 + cos(x)**2 

>>> simplify(expr)

上面的代码片段给出了以下输出 -

1

展开

expand() 是 SymPy 中最常见的简化函数之一，用于扩展多项式表达式。例如 -



>>> a,b=symbols('a b') 

>>> expand((a+b)**2)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$a^{2} + 2 a b + b^{2}$



>>> expand((a+b)*(a-b))

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$a^{2} - b^{2}$

expand() 函数使表达式更大，而不是更小。通常是这种情况，但在调用 expand() 时，表达式通常会变小。



>>> expand((x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x)

上面的代码片段给出了以下输出 -

-2

因数

该函数采用多项式并将其分解为有理数上的不可约因数。



>>> x,y,z=symbols('x y z') 

>>> expr=(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z) 

>>> factor(expr)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$z (x + 2 y)^{2}$



>>> factor(x**2+2*x+1)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$(x + 1)^{2}$

factor() 函数与 expand() 相反。factor() 返回的每个因子都保证是不可约的。factor_list() 函数返回更结构化的输出。



>>> expr=(x**2*z + 4*x*y*z + 4*y**2*z) 

>>> factor_list(expr)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

(1, [(z, 1), (x + 2*y, 2)])

收集

此函数收集一个表达式的附加项，该表达式与一个有理指数幂的表达式列表有关。



>>> expr=x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3 

>>> expr

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$x^{3} + x^{2} z + 2 x^{2} + x y + x - 3$

该表达式上的 collect() 函数结果如下 -



>>> collect(expr,x)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$x^{3} + x^{2} (2 - z) + x (y + 1) - 3$



>>> expr=y**2*x + 4*x*y*z + 4*y**2*z+y**3+2*x*y 

>>> collect(expr,y)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$Y^{3} + Y^{2} (x + 4 z) + y (4 x z + 2 x)$

抵消

cancel() 函数将采用任何有理函数并将其放入标准规范形式 p/q 中，其中 p 和 q 是没有公因数的扩展多项式。p 和 q 的前导系数没有分母，即它们是整数。



>>> expr1=x**2+2*x+1 

>>> expr2=x+1 

>>> cancel(expr1/expr2)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$x + 1$



>>> expr = 1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4) 

>>> expr

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$\frac{\frac{3 x}{2} - 2}{x - 4} + \frac{1}{x}$



>>> cancel(expr)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{2 x^{2} - 8}$



>>> expr=1/sin(x)**2 

>>> expr1=sin(x) 

>>> cancel(expr1*expr)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$\frac{1}{\sin (x)}$

反三角

此函数用于简化三角恒等式。可能需要注意的是，反三角函数的命名约定是将 a 附加到函数名称的前面。例如，反余弦或反余弦称为 acos()。



>>> from sympy import trigsimp, sin, cos 

>>> from sympy.abc import x, y

>>> expr = 2*sin(x)**2 + 2*cos(x)**2 

>>> trigsimp(expr)

2

trigsimp 函数使用启发式方法来应用最合适的三角恒等式。

幂结合

该函数通过将幂与相似的基数和指数相结合来减少给定的表达式。



>>> expr=x**y*x**z*y**z 

>>> expr

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$x^{y} x^{z} y^{z}$



>>> powsimp(expr)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$x^{y + z} y^{z}$

您可以通过更改 combine='base' 或 combine='exp' 使 powsimp() 仅组合基数或仅组合指数。默认情况下，combine='all'，两者兼而有之。如果 force 为 True，则将组合基础而不检查假设。



>>> powsimp(expr, combine='base', force=True)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$x^{y} (x y)^{z}$

combsimp

使用 combsimp() 函数可以简化涉及阶乘和二项式的组合表达式。SymPy 提供了一个 factorial() 函数



>>> expr=factorial(x)/factorial(x - 3) 

>>> expr

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$\frac{x!}{(x - 3)!}$

为了简化上述组合表达式，我们使用 combsimp() 函数如下 -



>>> combsimp(expr)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$x (x - 2) (x - 1)$

binomial(x, y) 是从一组 x 个不同项目中选择 y 个项目的方法的数量。它也经常写成 xCy。



>>> binomial(x,y)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$(\frac{x}{y})$



>>> combsimp(binomial(x+1, y+1)/binomial(x, y))

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$\frac{x + 1}{y + 1}$

对数组合

此函数采用对数并使用以下规则将它们组合 -

如果两者都是正数，则 log(x) + log(y) == log(x*y)
a*log(x) == log(x**a) 如果 x 为正且 a 为实数



>>> logcombine(a*log(x) + log(y) - log(z))

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$a \log (x) + \log (y) - \log (z)$

如果此函数的 force 参数设置为 True，则如果没有对某个量的假设，则将假设上述假设成立。



>>> logcombine(a*log(x) + log(y) - log(z), force=True)

上面的代码片段给出了与下面的表达式等效的输出 -

$\log \frac{x^{a} y}{z}$