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  SciPy - 优化

  • 简述

    scipy.optimize package提供了几种常用的优化算法。该模块包含以下方面 -
    • 使用多种算法（例如 BFGS、Nelder-Mead simplex、Newton Conjugate Gradient、COBYLA 或 SLSQP）对多元标量函数 (minimize()) 进行无约束和有约束的最小化
    • 全局（蛮力）优化例程（例如，anneal()、basinhopping()）
    • 最小二乘法 (leastsq()) 和曲线拟合 (curve_fit()) 算法
    • 标量单变量函数最小化器 (minimize_scalar()) 和根查找器 (newton())
    • 使用各种算法（例如混合 Powell、Levenberg-Marquardt 或 Newton-Krylov 等大规模方法）的多元方程系统求解器 (root())

    多元标量函数的无约束和约束最小化

    这minimize() function为多元标量函数的无约束和约束最小化算法提供了一个通用接口scipy.optimize. 为了演示最小化函数，考虑最小化 NN 变量的 Rosenbrock 函数的问题 -
    $$f(x) = \sum_{i = 1}^{N-1} \:100(x_i - x_{i-1}^{2})$$
    该函数的最小值为 0，当 xi = 1 时实现。

  • Nelder-Mead 单纯形算法

    在下面的示例中，minimize() 例程与Nelder-Mead simplex algorithm (method = 'Nelder-Mead')（通过方法参数选择）。让我们考虑下面的例子。 
    
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
def rosen(x):
x0 = np.array([1.3, 0.7, 0.8, 1.9, 1.2])
res = minimize(rosen, x0, method='nelder-mead')
print(res.x)
    上述程序将生成以下输出。 
    
[7.93700741e+54  -5.41692163e+53  6.28769150e+53  1.38050484e+55  -4.14751333e+54]
    单纯形算法可能是最小化行为良好的函数的最简单方法。它只需要函数评估，对于简单的最小化问题来说是一个不错的选择。但是，由于它不使用任何梯度评估，因此可能需要更长的时间才能找到最小值。
    另一种只需要函数调用即可找到最小值的优化算法是Powell‘s method，可以通过在 minimum() 函数中设置 method = 'powell' 来获得。

  • 最小二乘

    求解具有变量界限的非线性最小二乘问题。给定残差 f(x)（n 个实变量的 m 维实函数）和损失函数 rho(s)（标量函数），least_squares 找到成本函数 F(x) 的局部最小值。让我们考虑下面的例子。
    在这个例子中，我们找到了一个最小的 Rosenbrock 函数，没有自变量的界限。 
    
#Rosenbrock Function
def fun_rosenbrock(x):
   return np.array([10 * (x[1] - x[0]**2), (1 - x[0])])
   
from scipy.optimize import least_squares
input = np.array([2, 2])
res = least_squares(fun_rosenbrock, input)
print res
    请注意，我们只提供残差的向量。该算法将成本函数构造为残差的平方和，从而给出 Rosenbrock 函数。确切的最小值在 x = [1.0,1.0] 处。
    上述程序将生成以下输出。 
    
active_mask: array([ 0., 0.])
      cost: 9.8669242910846867e-30
      fun: array([ 4.44089210e-15, 1.11022302e-16])
      grad: array([ -8.89288649e-14, 4.44089210e-14])
      jac: array([[-20.00000015,10.],[ -1.,0.]])
   message: '`gtol` termination condition is satisfied.'
      nfev: 3
      njev: 3
   optimality: 8.8928864934219529e-14
      status: 1
      success: True
         x: array([ 1., 1.])

  • 寻根

    让我们了解根查找如何在 SciPy 中发挥作用。

    标量函数

    如果有一个单变量方程，有四种不同的求根算法，可以尝试。这些算法中的每一个都需要一个区间的端点，在这个区间的端点是预期的（因为函数改变了符号）。一般来说，brentq是最好的选择，但其他方法在某些情况下或出于学术目的可能有用。

    定点求解

    一个与寻找函数零点密切相关的问题是寻找函数的不动点的问题。函数的不动点是函数求值返回点的点：g(x) = x。显然是固定点gg是 f(x) = g(x)−x 的根。等效地，根ff是 g(x) = f(x)+x 的不动点。例程 fixed_point 提供了一个简单的迭代方法，使用Aitkens sequence acceleration估计的不动点gg, 如果给定一个起点。

    方程组

    可以使用以下方法找到一组非线性方程的根root() function. 有几种方法可用，其中hybr（默认）和 lm，分别使用hybrid method of Powell和Levenberg-Marquardt method从MINPACK。
    以下示例考虑单变量超越方程。

    x2 + 2cos(x) = 0

    其根可以找到如下 - 
    
import numpy as np
from scipy.optimize import root
def func(x):
   return x*2 + 2 * np.cos(x)
sol = root(func, 0.3)
print sol
    上述程序将生成以下输出。 
    
fjac: array([[-1.]])
fun: array([ 2.22044605e-16])
message: 'The solution converged.'
   nfev: 10
   qtf: array([ -2.77644574e-12])
      r: array([-3.34722409])
   status: 1
   success: True
      x: array([-0.73908513])
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