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  SciPy - Linalg

  • 简述

    SciPy 是使用优化的ATLAS LAPACK和BLAS图书馆。它具有非常快速的线性代数能力。所有这些线性代数例程都需要一个可以转换为二维数组的对象。这些例程的输出也是一个二维数组。

    SciPy.linalg 与 NumPy.linalg

    scipy.linalg 包含 numpy.linalg 中的所有函数。此外，scipy.linalg 还具有其他一些 numpy.linalg 中没有的高级功能。与 numpy.linalg 相比，使用 scipy.linalg 的另一个优点是它始终使用 BLAS/LAPACK 支持进行编译，而对于 NumPy，这是可选的。因此，根据 NumPy 的安装方式，SciPy 版本可能会更快。

  • 线性方程组

    这scipy.linalg.solve特征求解线性方程 a * x + b * y = Z，对于未知的 x，y 值。
    例如，假设需要求解以下联立方程。
    x + 3y + 5z = 10
    2x + 5y + z = 8
    2x + 3y + 8z = 3
    为了求解上述方程的 x、y、z 值，我们可以使用矩阵求逆来找到解向量，如下所示。
    $$\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 5 & 1\\ 2 & 3 & 8 \end{bmatrix}^ {-1} \begin{bmatrix} 10\\ 8\\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{25} \begin{bmatrix} -232\\ 129\\ 19 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9.28\\ 5.16\\ 0.76 \end{bmatrix}.$$
    但是，最好使用linalg.solve命令，它可以更快且在数值上更稳定。
    求解函数接受两个输入“a”和“b”，其中“a”代表系数，“b”代表各自右侧的值，并返回解数组。
    让我们考虑下面的例子。 
    
#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np
#Declaring the numpy arrays
a = np.array([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]])
b = np.array([2, 4, -1])
#Passing the values to the solve function
x = linalg.solve(a, b)
#printing the result array
print x
    上述程序将生成以下输出。 
    
array([ 2., -2., 9.])

  • 寻找行列式

    方阵 A 的行列式通常表示为 |A| 是线性代数中常用的一个量。在 SciPy 中，这是使用det()功能。它接受一个矩阵作为输入并返回一个标量值。
    让我们考虑下面的例子。 
    
#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np
#Declaring the numpy array
A = np.array([[1,2],[3,4]])
#Passing the values to the det function
x = linalg.det(A)
#printing the result
print x
    上述程序将生成以下输出。 
    
-2.0

  • 特征值和特征向量

    特征值-特征向量问题是最常用的线性代数运算之一。通过考虑以下关系，我们可以找到方阵 (A) 的特征值 (λ) 和相应的特征向量 (v) -
    Av = λv
    scipy.linalg.eig根据普通或广义特征值问题计算特征值. 此函数返回特征值和特征向量。
    让我们考虑下面的例子。 
    
#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np
#Declaring the numpy array
A = np.array([[1,2],[3,4]])
#Passing the values to the eig function
l, v = linalg.eig(A)
#printing the result for eigen values
print l
#printing the result for eigen vectors
print v
    上述程序将生成以下输出。 
    
array([-0.37228132+0.j, 5.37228132+0.j]) #--Eigen Values
array([[-0.82456484, -0.41597356], #--Eigen Vectors
       [ 0.56576746, -0.90937671]])

  • 奇异值分解

    奇异值分解 (SVD) 可以被认为是特征值问题对非正方形矩阵的扩展。
    这scipy.linalg.svd将矩阵“a”分解为两个酉矩阵“U”和“Vh”以及奇异值（实数，非负）的一维数组“s”，使得 a == U*S*Vh，其中 'S ' 是具有主对角线 's' 的适当形状的零矩阵。
    让我们考虑下面的例子。 
    
#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np
#Declaring the numpy array
a = np.random.randn(3, 2) + 1.j*np.random.randn(3, 2)
#Passing the values to the eig function
U, s, Vh = linalg.svd(a)
# printing the result
print U, Vh, s
    上述程序将生成以下输出。 
    
(
   array([
      [ 0.54828424-0.23329795j, -0.38465728+0.01566714j,
      -0.18764355+0.67936712j],
      [-0.27123194-0.5327436j , -0.57080163-0.00266155j,
      -0.39868941-0.39729416j],
      [ 0.34443818+0.4110186j , -0.47972716+0.54390586j,
      0.25028608-0.35186815j]
   ]),
   array([ 3.25745379, 1.16150607]),
   array([
      [-0.35312444+0.j , 0.32400401+0.87768134j],
      [-0.93557636+0.j , -0.12229224-0.33127251j]
   ])
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