SciPy - 积分

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  简述

  当一个函数不能解析积分，或者很难解析积分时，一般会求助于数值积分方法。SciPy 有许多用于执行数值积分的例程。他们中的大多数都在同一个scipy.integrate图书馆。下表列出了一些常用的函数。

  不先生	功能说明
  1	quad 单一积分
  2	dblquad 双重积分
  3	tplquad 三重积分
  4	nquad n倍多重积分
  5	fixed_quad 高斯求积，n 阶
  6	quadrature 公差的高斯正交
  7	romberg 隆贝格积分
  8	trapz 梯形规则
  9	cumtrapz 累积计算积分的梯形规则
  10	simps 辛普森法则
  11	romb 隆贝格积分
  12	polyint 分析多项式积分 (NumPy)
  13	poly1d polyint (NumPy) 的辅助函数

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  单积分

  Quad 函数是 SciPy 积分函数的主力。数值积分有时被称为quadrature， 由此得名。它通常是在从 a 到 b 的给定固定范围内执行函数f(x)的单积分的默认选择。

  $$\int_{a}^{b} f(x)dx$$

  四边形的一般形式是scipy.integrate.quad(f, a, b), 其中“f”是要积分的函数的名称。而“a”和“b”分别是下限和上限。让我们看一个在 0 和 1 范围内积分的高斯函数示例。

  我们首先需要定义函数 → $$f(x) = e^{-x^2}$$ ，这可以使用 lambda 表达式来完成，然后在该函数上调用 quad 方法。

  
  import scipy.integrate
  from numpy import exp
  f= lambda x:exp(-x**2)
  i = scipy.integrate.quad(f, 0, 1)
  print i
  

  上述程序将生成以下输出。

  
  (0.7468241328124271, 8.291413475940725e-15)
  

  quad 函数返回两个值，其中第一个数字是积分值，第二个值是积分值绝对误差的估计值。

  注意− 由于 quad 需要函数作为第一个参数，我们不能直接将 exp 作为参数传递。Quad 函数接受正无穷和负无穷作为限制。Quad 函数可以积分单个变量的标准预定义 NumPy 函数，例如 exp、sin 和 cos。
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  多重积分

  双重和三重积分的机制已包含在函数中dblquad, tplquad和nquad. 这些函数分别积分了四个或六个参数。所有内积分的极限都需要定义为函数。
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  双积分

  的一般形式dblquad是 scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun)。其中，func是要积分的函数名，'a'和'b'分别是x变量的下限和上限，而gfun和hfun是定义下限和上限的函数名y 变量。

  作为一个例子，让我们执行双重积分方法。

  $$\int_{0}^{1/2} dy \int_{0}^{\sqrt{1-4y^2}} 16xy \:dx$$

  我们使用 lambda 表达式定义函数 f、g 和 h。请注意，即使 g 和 h 是常数（在许多情况下可能是常数），它们也必须定义为函数，正如我们在此处为下限所做的那样。

  
  import scipy.integrate
  from numpy import exp
  from math import sqrt
  f = lambda x, y : 16*x*y
  g = lambda x : 0
  h = lambda y : sqrt(1-4*y**2)
  i = scipy.integrate.dblquad(f, 0, 0.5, g, h)
  print i
  

  上述程序将生成以下输出。

  
  (0.5, 1.7092350012594845e-14)
  

  除了上述例程之外，scipy.integrate 还有许多其他积分例程，包括执行 n 倍多重积分的 nquad，以及实现各种积分算法的其他例程。但是，quad 和 dblquad 将满足我们对数值积分的大部分需求。