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  MATLAB 积分

  • 积分

    积分处理两种本质上不同的问题。
    • 在第一种类型中，给出了函数的导数，我们想找到函数。因此，我们基本上扭转了分化的过程。这种逆过程称为反微分，或者找到原始函数，或者找到不定积分。
    • 第二类问题涉及相加大量非常小的数量，然后随着数量的大小接近零而取一个极限，而项的数量趋于无穷大。这个过程导致定积分的定义。
    定积分用于查找面积，体积，重心，惯性矩，力完成的功以及许多其他应用。

  • 使用MATLAB查找不定积分

    根据定义，如果函数f（x）的导数是f'（x），那么我们说f'（x）相对于x的不定积分是f（x）。例如，由于x 2的导数（相对于x）为2x，因此可以说2x的不定积分为x 2。
    在符号中-
    f'（x 2）= 2x，因此，
    ∫2xdx = X 2。
    不定积分不是唯一的，因为对于常数c的任何值，x 2 + c的导数也将是2x。
    这用符号表示为-
    ∫2xdx = X 2 + C。
    其中，c被称为“任意常数”。
    MATLAB提供了一个用于计算表达式积分的int命令。为了导出一个函数的不定积分的表达式，我们写： 
    
int(f);
    例如，从我们之前的示例中- 
    
syms x 
int(2*x)
    MATLAB执行上述语句并返回以下结果- 
    
ans =
   x^2
    例子1
    在此示例中，让我们找到一些常用表达式的积分。创建一个脚本文件并在其中键入以下代码- 
    
syms x n

int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)
    运行文件时，它显示以下结果- 
    
ans =
   piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
   -cos(n*t)/n
   ans =
   (a*sin(pi*t))/pi
   ans =
   a^x/log(a)
    例子2
    创建一个脚本文件并在其中键入以下代码- 
    
syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))

int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))
    请注意，pretty函数以更易读的格式返回表达式。运行文件时，它显示以下结果- 
    
ans =
   sin(x)
 
ans =
   exp(x)
 
ans =
   x*(log(x) - 1)
 
ans =
   log(x)
 
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
                                    2             4 
   24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x) 
   ----------- + ------------- - -------------- + ------------ 
      3125            625             125              5 
   
        3             5 
 
   4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x) 
   ------------- + ----------- 
         25              5
 
ans =
-1/(4*x^4)
 
ans =
tan(x)
        2 
  x (3 x  - 5 x + 1)
 
ans = 
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
 
      6      5      4    3 
    7 x    3 x    5 x    x 
  - ---- - ---- + ---- + -- 
     12     5      8     2

  • 使用MATLAB查找定积分

    根据定义，定积分基本上是和的极限。我们使用定积分来查找面积，例如曲线和x轴之间的面积以及两条曲线之间的面积。定积分也可以在其他情况下使用，其中所需的数量可以表示为总和的极限。
    int 函数可以通过越过要计算积分的限制可用于定积分。
    integration
    我们写， 
    
int(x, a, b)
    例如，要计算值，例我们写：
    integration
    
int(x, 4, 9)
    MATLAB执行上述语句并返回以下结果- 
    
ans =
   65/2
    以下是上述计算的 Octave 等效- 
    
pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));
    Octave 执行代码并返回以下结果- 
    
Area: 

   32.500
    可以使用Octave提供的quad（）函数给出替代解决方案，如下所示： 
    
pkg load symbolic
symbols

f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));
    执行代码并返回以下结果- 
    
Area: 
   32.500
    例子1
    让我们计算在x轴和曲线y = x 3 -2x + 5以及纵坐标x = 1和x = 2之间封闭的面积。
    所需面积-
    integration
    创建一个脚本文件并输入以下代码- 
    
f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));
    运行文件时，它显示以下结果- 
    
a =
23/4
Area: 
   5.7500
    以下是上述计算的 Octave 等效- 
    
pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));
    执行代码并返回以下结果- 
    
Area: 

   5.7500
    可以使用Octave提供的quad（）函数给出替代解决方案，如下所示： 
    
pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));
    执行代码并返回以下结果- 
    
Area: 
   5.7500
    例子2
    找出曲线下的面积：f（x）= x 2 cos（x）定义域 -4≤x≤9。
    创建一个脚本文件并编写以下代码- 
    
f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));
    运行文件时，MATLAB绘制图形-
    integration
    输出如下- 
    
a = 
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
 
Area: 
   0.3326
    以下是上述计算的 Octave 等效- 
    
pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");

ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps

[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));
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